Ähnlichkeiten
Ähnlichkeiten - Ähnliche Figuren
Ähnliche Figuren haben die gleiche Form, können aber unterschiedlich groß sein (Zeichen: ~)
Wenn sie gleich groß sind, nennt man sie kongruent (Zeichen: ≡)
Figuren haben die gleiche Form, sind also ähnlich, wenn:
1. einander entsprechende Winkel gleich groß sind
α1 = α2
β1 = β2
γ1 = γ2
2. einander entsprechende Seiten das gleiche Verhältnis haben
a1 : a2 =
b1 : b2 =
c1 : c2
Gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Kreis
Alle gleichseitigen Dreiecke, Quadrate und
Kreise sind ähnlich zueinander.
Kreise sind ähnlich zueinander.
Ähnlichkeit beim Rechteck
Nicht alle Rechtecke sind ähnlich, trotz gleicher
Winkel, weil die Seitenlängen nicht das gleiche
Verhältnis haben müssen.
Winkel, weil die Seitenlängen nicht das gleiche
Verhältnis haben müssen.
Ähnlichkeiten - Strecken teilen
Mithilfe der Ähnlichkeit können Strecken in gleich lange Teile geteilt werden.
Die Strecke A-B soll in drei gleiche Teile geteilt werden:
1. Wir zeichnen einen beliebigen Strahl ausgehend von A
2. Wir tragen 3 beliebige gleich lange Teile mit dem Zirkel auf
3. Wir verbinden Punkt 3 mit Punkt B
4. Wir ziehen Parallelen durch Punkt 1 und 2
Durch die Schnittpunkte der Parallelen mit der Strecke A-B
haben wir nun 3 gleich große Teile erhalten (T1, T2, T3).
haben wir nun 3 gleich große Teile erhalten (T1, T2, T3).
Ähnlichkeiten - Zentrische Streckung
Mithilfe der zentrischen Streckung können Figuren einfach vergrößert/verkleinert werden.
1. Wir ziehen dafür einen Strahl vom Zentrum Z
(hier bei 0|0) durch jeden Eckpunkt der Figur
(hier bei 0|0) durch jeden Eckpunkt der Figur
2. Wir wollen die Größe verdoppeln, d.h. jeder Eckpunkt
ist doppelt so weit vom Zentrum Z entfernt wie der
entsprechende Ausgangspunkt.
Der Streckungsfaktor k ist also 2.
ist doppelt so weit vom Zentrum Z entfernt wie der
entsprechende Ausgangspunkt.
Der Streckungsfaktor k ist also 2.
Alle durch Streckung erzeugten Figuren sind zueinander
ähnlich. Hier: A1B1C1 ~ A2B2C2
ähnlich. Hier: A1B1C1 ~ A2B2C2
Eine zentrische Streckung wird also durch Z (Zentrum, Ähnlichkeitszentrum) und
k (Streckungsfaktor, Ähnlichkeitsfaktor, Proportionalitätsfaktor) bestimmt wobei gilt: k = ZA2 / ZA1 bzw. ZA2 = ZA1 * k
k (Streckungsfaktor, Ähnlichkeitsfaktor, Proportionalitätsfaktor) bestimmt wobei gilt: k = ZA2 / ZA1 bzw. ZA2 = ZA1 * k
Der Streckungsfaktor k bestimmt die Größe der gestreckten Figur:
k > 1
=>
Vergrößerung
k < 1 und k > 0
=>
Verkleinerung
k = 1
=>
keine Änderung (kongruente Figur)
