Einleitung

Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Geometrie. Er gibt das Längenverhältnis der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks an.

Arbeitsmittel

Allgemeines

Merksatz

In einem rechtwinkeligen Dreieck ist die Summe der Flächen der Kathetenquadrate (kurzen Seiten, a + b) gleich der Fläche des Hypothenusenquadrates (langen Seite, c):

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Wenn in einem rechtwinkeligen Dreieck zwei Seiten bekannt sind, dann lässt sich durch den pythagoräischen Lehrsatz die fehlende dritte berechnen:

$$ a = \sqrt{ c^2 - b^2 } $$ $$ b = \sqrt{ c^2 - a^2 } $$ $$ c = \sqrt{ a^2 + b^2 } $$

Graphische Anschauung

a und b sind in einem rechtwinkeligem Dreieck die kurzen Seiten (Katheten). Sie liegen im rechte Winkel zueinander. $$a^2$$ ist die Fläche, die entsteht, wenn man ein Quadrat mit der Seitenlänge a zeichnet. Daher kann man den Satz des Pythagoras aufzeichnen, wie unten zu sehen. Zwischen den Quadratetn sieht man das rechtwinkelige Dreieck.

_ + _ = _

Das große Quadrat mit der Seitenlänge c ist also gleich groß, wie beide Quadrat mit den Seitenlängen a un b zusammen. Die Frage, die sich Mathematiker nun stellen ist, stimmt das wirkllich immer, für alle rechtwinkeligen Dreiecke? Um das festzustellen, dient zum Beispiel folgender graphischer Beweis:

Der Mensch Pythagoras

Pythagoras

Pythagoras (ca. 570-500 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker. Die Verhältnisse der Seiten im rechtwinkeligen Dreieck waren allerdings schon lange vor ihm bekannt. Es wird jedoch vermutet, dass Pythagoras (bzw. seine Schüler) den ersten Beweis dafür lieferte.